Библиотека Правого Клуба

Правый Клуб

Документы

Место для рекламы:

Библиотека Правого Клуба

zaphod

Математические методы контроля над рыбой

     02.11.1999
     Всем хорошо известно, какое важное значение придает фракция "Яблоко" и лично Григорий Алексеевич Явлинский проблеме формирования в нашей стране среднего класса. Фракция "Яблоко" разработала и добилась принятия Государственной Думой Закона о СРП (Соглашениях о разделе продукции). Другим важным источником бюджетных доходов, предназначенных для создания среднего класса, может стать контроль над рыбой. Эту идею высказал также Григорий Алексеевич Явлинский. В настоящей заметке обсуждаются современные математические методы управления рыбными запасами. Заметка может быть полезной прежде всего депутатам Государственной Думы от фракции "Яблоко" и сотрудникам ЭПИЦентра, то есть тем людям, которым и придется воплощать в жизнь идеи Григория Алексеевича, а также всем, кто интересуется научными проблемами построения цивилизованного общества в нашей стране.

     Впервые задачу о контроле над рыбой рассмотрел в 1976 году С.В.Кларк в книге Mathematical Bioeconomics (Wiley, New York, 1976). Рассмотрим постановку этой задачи. Пусть x(t)- численность популяции рыбы как функция времени, F(x) - функция воспроизводства рыбы, а h(t) - норма отлова рыбы. Тогда динамика численности популяции рыбы будет удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка:

dx/dt = F(x) - h(t)

> Функция воспроизводства F(x) есть естественный прирост популяции рыбы в единицу времени как функция численности популяции, а норма отлова h(t) - это установленное законом количество рыбы, отловленное в единицу времени. Естественно, что прирост популяции рыбы в единицу времени есть просто разность двух этих величин. При F(x) > h(t) будем иметь dx/dt > 0, т.е. возрастание численности популяции, при обратном соотношении - убывание.
Естественно предположить, что норма отлова рыбы пропорциональна численности популяции:

h = Ex

где E - величина трудовых затрат на отлов рыбы. Тогда уравнение динамики популяции рыбы примет вид:

dx/dt = F(x) - Ex

В биоэкономике и экологии в качестве простейшей функции воспроизводства используется функция Ферхюлста

F(x) = ax(N-x)

     Смысл функции Ферхюлста можно пояснить следующим образом. Величина N имеет смысл максимального количества рыб, которые могут прокормиться в данной экосистеме. При малой численности популяции (x >> N)функция Ферхюлста принимает вид F(x)=aNx,т.е.скорость воспроизводства пропорциональна численности популяции, как и должно быть при неограниченном изобилии ресурсов для рыбы, а коэффициент a пропорционален коэффициенту размножения рыбы в этих условиях. Когда численность популяции приближается к предельной, скорость воспроизводства убывает и при x = N становится равной нулю, а при x> N - отрицательной. Таким образом, если в популяции, воспроизводящейся по закону Ферхюлста, численность случайно превзойдет предельную, то численность такой популяции сократится. В этом случае говорят, что в популяции имеются две точки равновесия - при нулевой численности и при предельной. Однако они различны: нулевая точка - точка неустойчивого равновесия, а точка максимальной численности - устойчивого.
     Вообще говоря, нет никаких оснований выбирать в качестве функции воспроизводства функцию Ферхюлста, однако поведение такой популяции соответствует интуитивным представлением и качественно совпадает с поведением реальных популяций.
     Немногим более сложно исследование равновесия популиции рыбы при ненулевом отлове, пропорциональном численности популяции. В этом случае также существуют две точки равновесия, удовлетворяюшие уравнению

ax(N - x) - Ex = 0

причем для контроля над рыбой представляет интерес лишь ненулевая точка, x* = N - E/a. Легко убедиться в том, что точка x* - точка устойчивого равновесия популяции. Поскольку равновесный выход рыбы Y(E) = Ex*,то теперь можно написать производственную функцию промысла рыбы:

Y(E) = E(N - E/a)

Производная этой функции по E, т.е. предельная производительность труда,

dY(E)/dE = N - 2E/a

является убывающей, в полном соответствии с законом убывающей предельной производительности.
Теперь можно легко вычислить доходы бюджета от промысла рыбы. Пусть цена рыбы равна p, а ставка заработной платы равна w.Тогда выручка от продажи рыбы составит pY(E), а расходы на зарплату wE.Следовательно, для дохода бюджета R(E) получается выражение:

R(E) = pY(E) - wE = pE(N - E/a) - wE

Дифференцируя R(E) по E,приравнивая производную нулю и разрешая полученное уравнение относительно E, получаем выражения для оптимальной величины трудовых затрат E*:

E* = a(N -w/p)/2

Отсюда легко получить выражение для дохода бюджета путем подстановки полученного значения E* в выражение для R(E):

R(E*) = ap(N - w/p)2/4

     Как видно из этой формулы, контроль над рыбой сводится не только к контролю над ценой рыбы и ставкой заработной платы на рыбных промыслах, но и требует знания параметров функции воспроизводства рыбы.
     Завершая обсуждение, следует отметить, что в короткой заметке невозможно осветить многочисленные математические вопросы контроля над рыбой. Поэтому заинтересованным читателям, а особенно депутатам Государственной Думы от фракции "Яблоко" и сотрудинкам ЭПИЦентра предлагается несколько вопросов и упражнений для самостоятельного обсуждения и дальнейшей разработки.
     1. Дифференциальное уравнение динамики популяции с функцией воспроизводства Ферхюлста может быть проинтергировано аналитически. Найдите решение этого дифференциального уравнения.
     2. Предположим, что сотрудники ЭПИЦентра решили провести эксперимент с целью определения численности популяции рыбы. Для этого из экспериментального пруда было выловлено n рыб. Эти рыбы были окольцованы и снова выпущены в пруд. Через некоторое время из пруда было выловлено M рыб. Оказалось, что среди них m рыб окольцовано. Как на основании этих данных оценить количество N рыб в пруду? Какова будет среднеквадратичная ошибка такой оценки?
     3. Трое сотрудников ЭПИЦентра при подготовке материалов для закондательства по контролю на рыбой и разделом рыбной продукции выловили некоторое количество рыбы из экпериментального пруда ЭПИЦентра и решили ее разделить между собой. Однако число пойманных рыб не делилось на три - в остатке оставалась одна рыба. Сотрудники очень долго спорили о том, как наилучшим образом разделить эту рыбу, но не договорившись, устали и заснули. Через некоторое время один сотрудник проснулся, увидел, что другие спят, выбросил одну рыбу в пруд, взял одну треть, спрятал ее и снова лег спать. Потом проснулся другой сотрудник, пересчитал рыбу и решил, что все на месте, поскольку точного числа он не помнил, а оставшееся от дележа первым сотрудником количество рыбы снова делилось на 3 с остатком в виде одной рыбы. Он тоже выбросил одну рыбу в пруд, взял себе одну треть, тоже спрятал и лег спать. Оставшееся число рыб тоже делилось на три с остатком единица, и третий сотрудник, ничего не зная о действиях своих коллег, сделал то же самое - выбросил одну рыбу в пруд и взял себе треть. Спрашивается, сколько рыб выловили сотрудники ЭПИЦентра?
     Внимание! Хорошо известное решение (минус две рыбы) просьба не предлагать!
     4. Может ли ситуация, описанная в предыдущем пункте, повториться при произвольном числе участников дележа?